(출처: James M. Gere, Mechanics of Materials, 6th ed., Thomson.)
얇은 폐곡선 단면을 가지는 튜브에 비틀림 모멘트 \( T \)가 작용할 때, 단면 내부에 발생하는 전단응력 \( \tau \)를 유도한다. 이 유도는 중심선(median line)을 따라 정의되는 전단흐름(shear flow)을 기준으로 한다.
중심선을 따라 길이 \( ds \)의 미소 요소를 고려하면, 두께 \( t \)를 따라 일정한 전단응력 \( \tau \)가 작용하고, 이에 해당하는 전단흐름은 \( f = \tau t \)로 정의된다. 이 전단흐름이 작용하는 거리 \( r \)에 의한 미소 토크는 다음과 같이 표현된다.
\[ dT = r \cdot f \, ds \]
전체 토크 \( T \)는 폐곡선을 따라 위의 미소 토크를 적분하면 다음과 같다.
\[ T = \oint r f \, ds \tag{a} \]
폐곡선 중심선을 따라 \( r \, ds \)를 적분하면, 이는 중심선이 둘러싸는 면적 \( A_m \)에 대한 두 배에 해당한다. 즉,
\[ \oint r \, ds = 2 A_m \tag{b} \]
식 (a)와 (b)를 결합하면 전체 토크는 다음과 같이 표현된다.
\[ T = f \cdot \oint r \, ds = f \cdot 2 A_m \quad \Rightarrow \quad f = \frac{T}{2 A_m} \tag{3-60} \]
전단응력 \( \tau \)는 전단흐름 \( f \)를 단면 두께 \( t \)로 나눈 값으로 정의되므로, 다음과 같은 최종 공식이 도출된다.
\[ \tau = \frac{f}{t} = \frac{T}{2 t A_m} \tag{3-61} \]